如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y...

（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标； （2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值； （3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解． 【解析】 （1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，4） 抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，可得 ，解得， ∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4． 令y=0，得-x2-3x+4=0， 解得x1=-4，x2=1，∴C（1，0）． （2）如答图1所示，设D（t，0）． ∵OA=OB，∴∠BAO=45°， ∴E（t，t+4），P（t，-t2-3t+4）． PE=yP-yE=-t2-3t+4-t-4=-t2-4t=-（t+2）2+4， ∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（-2，6）． （3）存在． 如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H． 设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°， ∴NH=AH=4-m，∴yQ=4-m． 又M为OA中点，∴MH=2-m． △MON为等腰三角形： ①若MN=ON，则H为底边OM的中点， ∴m=1，∴yQ=4-m=3． 由-xQ2-3xQ+4=3，解得xQ=， ∴点Q坐标为（，3）或（，3）； ②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中， 根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=（4-m）2+（2-m）2， 化简得m2-6m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去） ∴yQ=2，由-xQ2-3xQ+4=2，解得xQ=， ∴点Q坐标为（，2）或（，2）； ③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中， 根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=（4-m）2+m2， 化简得m2-4m+6=0，∵△=-8＜0， ∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形． 所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．