小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，C...

小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=30cm，在AB边上有一系列点P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°．
（1）求P₃A的长（结果保留根号）；
（2）求P₅A的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20， manfen5.com 满分网

≈1.7）；
（3）小明发现P₁，P₂，P₃…P₈这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．

（1）连接P3C，求出P3C=P3A．P3C=P3B，推出P3A=P3B=AB．在Rt△ABC中，cos∠A=，求出AB==20cm，即可求出答案；（2）连接P5C，作P5D⊥CA，垂足为D．∠P5CA=50°，设CD=xcm．求出P5D=CD•tan∠P5CD=1.2x．求出DA=1.2x．根据CD+DA=30cm得出x+1.2x=30．求出x=．在Rt△P5DA中，求出P5A=2.4x，即可求出答案；（3）在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，当P1，P2，P3…P8在斜边上时，求出AC=BC，证△P1CA≌△P8CB，推出P1A=P8B．同理可得P2A=P7B，P3A=P6B，P4A=P5B．【解析】（1）连接P3C， ∵∠P3CA=∠A， ∴P3C=P3A．又∵∠P3CB=∠BCA-∠P3CA=60°，且∠B=∠BCA-∠A=60°， ∴∠P3CB=∠B， ∴P3C=P3B， ∴P3A=P3B=AB．在Rt△ABC中，cos∠A=， ∴AB==20cm． ∴P3A=AB=10cm．（2）连接P5C，作P5D⊥CA，垂足为D．由题意得，∠P5CA=50°，设CD=xcm．在Rt△P5DC中，tan∠P5CD=， ∴P5D=CD•tan∠P5CD=1.2x．在Rt△P5DA中，tan∠A=， ∴DA==1.2x． ∵CA=30cm， ∴CD+DA=30cm． ∴x+1.2x=30． ∴x=．在Rt△P5DA中，sin∠A= ∴P5A==2.4x． ∴P5A=2.4×≈24cm．（3）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°．当P1，P2，P3…P8在斜边上时． ∵∠B=90°-∠A=45°， ∴∠B=∠A，∴AC=BC．在△P1CA和△P8CB中， ∵∠P1CA=∠P8CB，AC=BC，∠A=∠B， ∴△P1CA≌△P8CB．∴P1A=P8B．同理可得P2A=P7B，P3A=P6B，P4A=P5B．则P1P2=P8P7，P2P3=P7P6，P3P4=P6P5．在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等．

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考点分析：

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如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕着格点O顺时针旋转90°．
（1）画出△ABC旋转后的△A′B′C′；
（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；
（3）点B′到线段A′C′的距离为______