如图，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA=．D为射线BA上的点（点D不与点...

（1）本题可利用DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，来求出x、y的函数关系式． （2）本题要分两种情况： ①两圆外切，根据∠A的余弦值，如果过B作AC的垂线，不难得出△ABC为等腰三角形，因此AB=BC=5（也可用余弦定理求出BC的长）． 那么△ADE也应该是等腰三角形，即AD=DE=5-y． 由于两圆外切，设以BD为直径的圆为⊙O1，以CE为直径的圆为⊙O2，那么O1O2就是梯形DECB的中位线，根据DE、BC的长即两圆的半径即可求出DE的长． ②两圆内切，此种情况又要分两种情况来求： 一：⊙O2内切于⊙O1，那么O1O2是两圆的半径差，可根据相似三角形ADE和AO1O2来求出DE的长． 二：⊙O1内切于⊙O2，同一． （3）本题也要分三种情况： ①当∠ADE=∠FDE时，由于DE∥BC，那么∠ADE=∠FDE=∠DFB=∠B，即AD=DF=DE=DB，如果连接AF，那么DE必垂直平分AF，因此AF⊥CB，在直角三角形AFC中，由（2）知：∠A=∠C，因此根据AC的长和∠C的余弦值即可求出FC的长进而可求出BF的长． ②当∠DEF=∠B时，此时∠ADE=∠B=∠DEF，因此AB∥EF，四边形BDEF为平行四边形．因此△ADE≌△BDF，因此BF=BD=AB，由此可求出BF的长． ③当∠DFE=∠B时，可根据相似三角形对应的腰和底成比例求出BF的长． 【解析】 （1）∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴y=x（x＞0且x≠3）． （2）作BH⊥AC，垂足为点H． ∵cosA=，AB=5， ∴AH==AC， ∴BH垂直平分AC． ∴△ABC为等腰三角形，AB=CB=5． ①当点D在BA边上时（两圆外切），如图（1） 易知：O1O2∥BC，∴O1O2=AO1， 即+=5-． ∵y=x， ∴x=． ∵DE∥BC， ∴DE=AD=5-y， ∴DE=-x+5． ∴DE=-×+5=； ②当点D在BA延长线上时（两圆内切），如图（2）、（3）， 易知O1O2∥BC，且O1O2=AO1， （ⅰ）如图（2）， ∵O1O2=AO1， 即-=5-． ∵y=x， ∴x=． ∵DE∥BC， ∴DE=AD=y-5， ∴DE=x-5． ∴DE=×-5=． （ⅱ）如图（3）， ∵O1O2=AO2， 即-=-5， ∴x=10． ∵DE∥BC， ∴DE=AD=y-5， ∴DE=x-5． ∴DE=×10-5=． （3）①当∠EDF=∠B时， 易得：AD=DE=DF=DB， ∴AF⊥BC， 由cosA=cosC=，AC=3， ∴FC=，∴BF=． ②当∠DEF=∠B时，如图（5） 易得：△DBF≌△EFC， ∴BF=． ③当∠DFE=∠B时，如图（6） ∴， ∵AB=5，BC=5，AC=3， 设DE=3k，DF=EF=5k， ∴， ∴k=， ∴BF=5-3k=． 综上所述：BF的长为：BF=，，．