已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长...

（1）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，证明△CDN≌△CBN，再利用勾股定理求出即可； （2）将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，证明△CGN≌△CBN，进而利用勾股定理求出即可． （1）证明： 将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN， 则△DCM≌△ACM． 有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A． 又由CA=CB，得 CD=CB．   由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM， ∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM， 得∠DCN=∠BCN．  又CN=CN， ∴△CDN≌△CBN．     ∴DN=BN，∠CDN=∠B． ∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°． ∴在Rt△MDN中，由勾股定理， 得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2．  （2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．   证明： 将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN， 则△GCM≌△ACM．  有CG=CA，GM=AM， ∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM． 又由CA=CB，得 CG=CB． 由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°， ∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM． 得∠GCN=∠BCN．    又CN=CN， ∴△CGN≌△CBN． 有GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°， ∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°． ∴在Rt△MGN中，由勾股定理， 得MN2=GM2+GN2．即MN2=AM2+BN2．