如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端...

（1）根据m=n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF=AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG=BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF=AE了． （2）可用反证法来求解，方法同（1）类似，也是通过构建全等三角形来求解．作FH⊥x轴于H，假设题目给出的条件成立，通过证明三角形AOE和EHF全等来得出线段相等，即AO=EH，OE=FH，根据FBH=45°，设E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不难得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根据AO=EH，m=n，因此不存在点E． （3）可根据相似三角形来得出线段之间的比例关系来求得．辅助线作法同（2），我们不难证得三角形AOE和FEH相似（根据同角的余角相等和一组直角即可得出相似），那么就能将EF=（t+1）AE转换为FH=（t+1）OE，根据相似我们还可得出关于AO、EH、OE、FH的比例关系，那么就能得出一个关于OE、FH、m、n的关系式，将这式子进行化简，即可得出OE与m、n的关系，便能求出E的坐标了． 【解析】 （1）由题意得m=n时，AOBC是正方形． 如图，在OA上取点G，使AG=BE， ∵正方形OACB，OA=OB， ∴OG=OE． ∴∠EGO=∠GEO=（180°-90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°． 由BF是外角平分线，得∠EBF=135°， ∴∠AGE=∠EBF． ∵∠AEF=90°， ∴∠FEB+∠AEO=90°． 在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠EAO=∠FEB， 在△AGE和△EBF中 ∵ ∴△AGE≌△EBF， EF=AE． （2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图． 由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF． ∴FH=OE，EH=OA． ∴点F的纵坐标为a，即FH=a． 由BF是外角平分线，知∠FBH=45°， ∴BH=FH=a． 又由C（m，n）有OB=m， ∴BE=OB-OE=m-a， ∴EH=m-a+a=m． 又EH=OA=n， ∴m=n，这与已知m≠n相矛盾． 因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立． （3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH-OE=h+m-a． 由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF， ∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a， 且，即， 整理得nh=ah+am-a2， ∴h=． 把h=（t+1）a代入得=（t+1）a， 即m-a=（t+1）（n-a）． 而m=tn，因此tn-a=（t+1）（n-a）． 化简得ta=n，解得a=． ∵t＞1， ∴＜n＜m， 故E在OB边上． ∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．