如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q...

（1）由圆周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可证明△ABC是等边三角形； （2）过B作BD∥PA交PC于D，证得△AQP∽△BQD，，再证PB=BD即可； （3）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解． （1）【解析】 △ABC是等边三角形． 证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）证明：如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°， 又∵∠AQP=∠BQD， ∴△AQP∽△BQD， ∴， ∵∠BPD=∠BDP=60°， ∴PB=BD， ∴； （3）【解析】 设正△ABC的高为h，则h=BC•sin60°． ∵BC•h=4， 即BC•BC•sin60°=4， 解得BC=4， 连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E， 由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°， ∴， 由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°， 于是∠POC=2∠PBC=150°， ∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°， 如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15°，则∠RNG=30°， 作GH⊥RN，垂足为H． 设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=． 在Rt△GHN中， NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°， ∴RH=GH，MN=RN•sin45°， ∴cos15°=． 在图中，作OF⊥PC于F， ∴PC=2CF=2OC•cos15°=．