如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、...

（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同； （2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答． ②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形． 【解析】 （1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）． 将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得， 解得a=-，b=4． 故抛物线的解析式为：y=-x2+4x； （2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=． ∴PE=AP=t．PB=8-t． ∴点E的坐标为（4+t，8-t）． ∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4（4+t）=-t2+8． ∴EG=-t2+8-（8-t）=-t2+t． ∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2． ②共有三个时刻． （①）当EQ=QC时， 因为Q（8，t），E（4+t，8-t），QC=t， 所以根据两点间距离公式，得： （t-4）2+（8-2t）2=t2． 整理得13t2-144t+320=0， 解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）． （②）当EC=CQ时， 因为E（4+t，8-t），C（8，0），QC=t， 所以根据两点间距离公式，得： （4+t-8）2+（8-t）2=t2． 整理得t2-80t+320=0，t=40-16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）． （③）当EQ=EC时， 因为Q（8，t），E（4+t，8-t），C（8，0）， 所以根据两点间距离公式，得：（t-4）2+（8-2t）2=（4+t-8）2+（8-t）2， 解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=． 于是t1=，t2=，t3=40-16．