如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP...

（1）求y关于x的函数解析式，可以证明△ABP∽△CAP，根据相似比得出； （2）C到MN的距离，即CD的长，可以延长CA交直线MN于点E，证明AB∥CD，由平行线的性质得出； （3）圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，根据圆与圆的位置关系有（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，结合（1），（2）求出BP：PD的值． 【解析】 （1）∵AB⊥MN，AC⊥AP， ∴∠ABP=∠CAP=90°． 又∵∠ACP=∠BAP， ∴△ABP∽△CAP．（1分） ∴． 即．（1分） ∴所求的函数解析式为（x＞0）．（1分） （2）CD的长不会发生变化．（1分） 延长CA交直线MN于点E．（1分） ∵AC⊥AP， ∴∠PAE=∠PAC=90°． ∵∠ACP=∠BAP， ∴∠APC=∠APE． ∴∠AEP=∠ACP． ∴PE=PC． ∴AE=AC．（1分） ∵AB⊥MN，CD⊥MN， ∴AB∥CD． ∴．（1分） ∵AB=4， ∴CD=8．（1分） （3）∵圆C与直线MN相切， ∴圆C的半径为8．（1分） （i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8， ∴， ∴x=2，（1分） ∴BP=2， ∴CP=y=2+8=10， 根据勾股定理得PD=6 ∴BP：PD=．（1分） （ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|， ∴． ∴或． ∴x=-2（不合题意，舍去）或无实数解．（1分） ∴综上所述BP：PD=．