如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线...

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．
（1）求证：AC是圆O的切线；
（2）求AE的长．

（1）连接OD，证OD⊥AC即可；由于OB=OD，且BD平分∠ABC，利用角平分线的定义以及等边对等角可求得∠ODB=∠OBD=∠CBD，由此可证得OD∥BC，而BC⊥AC，即OD⊥AC，由此得证．（2）根据∠DAO的正切值，可求出AD、OD的比例关系，可用未知数表示出两者的长，进而可求得BE、AE的表达式，由于AE+BE=AB=5，由此可求出未知数的值，也就得到了AE的长．（1）证明：连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD； ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD，即∠ODB=∠CBD， ∴OD∥BC， ∵BC⊥AC， ∴OD⊥AC；又∵点D在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线．（2）【解析】 Rt△ABC中，AC=4，BC=3，则AB=5；在Rt△AOD中，设AD=4x，则OD=3x，OA=5x； ∵OE=OD=3x， ∴AE=OA-OE=2x，由于AB=AE+BE=2x+6x=5，故x=， ∴AE=2x=．

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考点分析：

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先化简，再求值：

，其中

．

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解不等式

，并将解集在数轴上表示出来．

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如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为．
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试题属性

题型：解答题
难度：中等