如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， ...

（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证； （3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可． 证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE， ∵MD=ME， ∴∠MAD=∠MAE， ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE， 即∠BAM=∠CAM， 在△ABM和△ACM中，， ∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴MB=MC； （2）MB=MC． 理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F， ∴BD=BE′，CE=CF， ∵M是ED的中点，B是DE′的中点， ∴MB∥AE′， ∴∠MBC=∠CAE， 同理：MC∥AD， ∴∠BCM=∠BAD， ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠MBC=∠BCM， ∴MB=MC； （3）MB=MC还成立． 如图4，延长BM交CE于F， ∵CE∥BD， ∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE， 又∵M是DE的中点， ∴MD=ME， 在△MDB和△MEF中，， ∴△MDB≌△MEF（AAS）， ∴MB=MF， ∵∠ACE=90°， ∴∠BCF=90°， ∴MB=MC．