如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动...

（1）四边形DEFB是平行四边形．利用DE、EF为△OAB的中位线证明平行四边形； （2）根据DE、EF为△OAB的中位线可知，S△AEF=S△ODE=S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S与b的关系式； （3）当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根据相似比得OB2=OA•BC，由勾股定理得OB2=BC2+OC2，利用b、t分别表示线段的长，列方程求解． 【解析】 （1）四边形DEFB是平行四边形． 证明：∵D、E分别是OB、OA的中点， ∴DE∥AB，同理，EF∥OB， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解法一：∵S△AOB=×8×b=4b， 由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB， ∴=（）2，即S△AEF=S△AOB=b，同理S△ODE=b， ∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）； 解法二：如图，连接BE，S△AOB=×8×b=4b， ∵E、F分别为OA、AB的中点， ∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b， 同理S△EOD=b， ∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b， 即S=2b（b＞0）； （3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E， ①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形， 此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC， ∴=，即OB2=OA•BC=8t， 在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2， ∴t2+b2=8t， ∴t2-8t+b2=0， 解得t=4±， ②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°， ∴四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形； 解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形， ∵∠COB+∠AOB=90°，∠OAB+∠AOB=90°， ∴∠COB=∠OAB， 又∵∠ABO=∠OCB=90°， ∴Rt△OCB∽Rt△ABO， ∴=，即OB2=OA•BC， 又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0）， ∴t2+b2=8t， ∴（t-4）2=16-b2， ①当16-b2≥0时，解得t=4±，此时四边形DEFB是矩形， ②当16-b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当16-b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±，当16-b2＜0时，四边形DEFB不是矩形； 解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M， 在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8-t）2， 在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2， 在△OAB中，当AB2+OB2=OA2时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形， ∴b2+（8-t）2+b2+t2=82， 化简得t2-8t=-b2，配方得（t-4）2=16-b2，其余同解法二．