如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形A...

（1）已知顶点坐标，又抛物线经过原点，用待定系数可求出抛物线解析式； （2）①根据抛物线的对称性求出E点坐标，再求出直线ME的解析式，把t知代入验证点P是否在直线ME上； ②最后一问设出P，N坐标，根据几何关系求出PN，然后分两种情况讨论：（1）PN=0；（2）PN≠0；把求多边形面积S转化为求函数最值问题． 【解析】 （1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）， 故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分） 又∵抛物线经过O（0，0）， ∴得a（0-2）2+4=0，（2分） 解得a=-1（3分） ∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4， 即y=-x2+4x．（4分） （2）①点P不在直线ME上．（5分） 根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0）， 又M的坐标为（2，4）， 设直线ME的关系式为y=kx+b． 于是得， 解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8．（6分） 由已知条件易得，当t=时，OA=AP=， ∴P（，）（7分） ∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8． ∴当t=时，点P不在直线ME上．（8分） ②S存在最大值．理由如下：（9分） ∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴OA=AP=t． ∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t） ∴AN=-t2+4t（0≤t≤3）， ∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0， ∴PN=-t2+3t（10分） （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD， ∴S=DC•AD=×3×2=3．（11分） （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵PN∥CD，AD⊥CD， ∴S=（CD+PN）•AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3=-（t-）2+ 其中（0＜t＜3），由a=-1，0＜＜3，此时S最大=．（12分） 综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．（13分） 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合．