如图，已知动圆A始终经过定点B（0，2），圆心A在抛物线上运动，MN为⊙A在x轴...

（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值为2，从而得到AB∥x轴，根据点A的横坐标即可得到⊙A的半径，过点A作AE⊥MN于点E，利用勾股定理求出ME的长度，再根据勾股定理即可得到MN的长度； （2）设点A坐标为（m，n），利用点A、B的坐标结合勾股定理表示出AB2，再根据勾股定理表示出ME2，并把AB2的表达式代入进行计算，然后根据点A在抛物线上得到m、n的关系式，整理即可得到ME=2是常数，然后得到MN不变； （3）设出点M的坐标，并表示出点N的坐标，然后分①点M、N在y轴同一侧，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到点M的坐标；②点M、N在y轴两侧，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到点M的坐标． 【解析】 （1）把点A（，a）代入y=x2， 得：a=×（2）2=2， ∵B（0，2）， ∴AB∥x轴， ∴⊙A的半径为2， 如图，过点A作AE⊥MN于点E，连接AM， 则AM=AB=2， ME===2， 由垂径定理，MN=2ME=2×2=4． 故此时⊙A的半径为2，弦MN的长为4； （2）MN不变．如图1，理由如下： 设点A（m，n），则AB2=m2+（n-2）2， 在Rt△AME中，ME2=AM2-AE2=m2+（n-2）2-n2=m2-4n+4， ∵点A在抛物线y=x2上， ∴m2=n， 整理得，ME2=4， ME=2， 由垂径定理得，MN=2ME=2×2=4（是定值，不变）； （3）连接BM，BN，设M（x，0），则N（x+4，0）． 当△OBM与△OBN相似，有以下情况： ①M、N在y轴同侧， ∵△OBM与△OBN相似， ∴=， 即OB2=OM•ON， 所以，x（x+4）=4， 整理得，x2+4x-4=0， 解得x1=-2+2，x2=-2-2， 当M、N在y轴右侧时，如图2，M（-2+2，0）， 当M、N在y轴左侧时，如图3，M（-2-2，0）， ②M、N在y轴两侧时，如图4， ∵△OBM与△OBN相似， ∴=， 即OB2=OM•ON， -x（x+4）=4， 整理得，x2+4x+4=0， 解得x=-2， 此时△OBM与△OBN全等，M（-2，0）， 综上所述，M有三种情况：M（-2+2，0），M（（-2-2，0），M（-2，0）．