如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥A...

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm²．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

（1）根据DE⊥AC得到∠DFC=∠FCB=90°，从而得到四边形BCDP是梯形，然后在Rt△ABC中利用AC2+BC2=AB2求得AC，从而得到CF=AF=6，然后表示出y与x之间的函数关系即可；（2）根据BC=9（定值），得到要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小，根据点P是线段AC垂直平分线上的点得到PA=PC，从而得到PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．然后分△DAE∽△ACB和△AFE∽△ACB即可求得AE的长．【解析】（1）∵DE⊥AC， ∴∠DFC=∠FCB=90°． ∴BC∥DF， ∴四边形BCDP是梯形．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴．在△ACD中，∵DA=DC，DF⊥AC， ∴CF=AF=6， ∴（x＞0）．（2）∵BC=9（定值）．理由如下： ∴要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小． ∵点P是线段AC垂直平分线上的点， ∴PA=PC， ∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．如图，显然当P与E重合时PB+PA最小，此时x=DP=DE，PB+PA=AB，在△DAE和△ABC中， ∵BC∥DF， ∴∠AEF=∠B， ∵∠DFA=∠ACB=90°， ∴△DAE∽△ACB， ∴，即，在△AFE和△ACB中 ∵∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90°， ∴△AFE∽△ACB， ∴，即， ∴AE=．在Rt△ADE和△CAB中 ∵∠AEF=∠B， ∴tan∠AEF=tan∠B， ∴即， ∴AD=10， ∴． ∴当时，△PBC的周长最小，此时．

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考点分析：

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（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等