已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根． （1）...

根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=-；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围； （1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值； （2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值． 【解析】 ∵x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=-； ∵一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0有两个实数根， ∴△=4a2-4（a-6）•a≥0，且a-6≠0， 解得，a≥0，且a≠6； （1）∵-x1+x1x2=4+x2， ∴x1x2=4+（x1+x2），即=4-， 解得，a=24＞0； ∴存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24； （2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-+1=-， ∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a-6＞0，且a-6是6的约数， ∴a-6=6，a-6=3，a-6=2，a-6=1， ∴a=12，9，8，7； ∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．