在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角...

（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC； （2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比===2，再利用锐角三角函数的定义求值； ②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线． 【解析】 （1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， AP=1，CD=AB=2，则PB=， ∴∠ABP+∠APB=90°， 又∵∠BPC=90°， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∴∠ABP=∠DPC， ∴△APB∽△DCP， ∴=  即 =， ∴PC=2； （2）①tan∠PEF的值不变． 理由：过F作FG⊥AD，垂足为G， 则四边形ABFG是矩形， ∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2， ∴∠AEP+∠APE=90°， 又∵∠EPF=90°， ∴∠APE+∠GPF=90°， ∴∠AEP=∠GPF， ∴△APE∽△GPF， ∴===2， ∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2， ∴tan∠PEF的值不变； ②设线段EF的中点为O，连接OP，OB， ∵在Rt△EPF中，OP=EF， 在Rt△EBF中，OB=EF， ∴OP=OB=EF， ∴O点在线段BP的垂直平分线上， ∴线段EF的中点经过的路线长为O1O2=PC=．