如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB． （...

（1）由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，则∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，可求∠OCA=∠PCB，而AB是直径，可知∠OCA+∠OCB=90°，从而有∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，从而可证CP是⊙O切线； （2）连接BM，由于M是弧AB中点，那么AM=BM，而∠AMB=90°，易知∠MAB=∠MBA=45°，而AC=CP，则∠P=∠CAO，又∠BCP=∠CAO，从而有∠P=∠BCP，即BC=BP=3，而∠CBO=2∠P，∠BOC=2∠CAO，于是∠BOC=∠CBO，而OB=OC，那么可证△BOC是等边三角形，从而有OB=BC=3，即AB=6，在Rt△AMB中，利用特殊三角函数值可求AM． 【解析】 （1）∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠COB=2∠OCA， ∵∠COB=2∠PCB， ∴∠OCA=∠PCB， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+∠OCB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCO=90°， ∵点C在⊙O上， ∴PC是⊙O的切线； （2）连接BM． ∵M是⊙O下半圆弧中点， ∴弧AM=弧BM， ∴AM=BM， ∵AB是⊙O直径， ∴∠AMB=90°， ∴∠BAM=∠ABM=45°， ∵AC=PC， ∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB， ∴BC=BP， ∵OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB， ∵∠BOC=2∠CAO， ∴∠BOC=∠OBC=∠OCB， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵PB=3， ∴BC=3， ∴AB=6， 在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=sin45°×AB=3．