如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N...

（1）证△BMN∽△BOA，推出=，由勾股定理求出BC=3，BO=，根据AN=x，BM=y，代入求出即可； （2）求出MG=MN，根据等腰三角形性质求出∠AND=∠G，∠DAN=∠MBG，根据AAS证△AND≌△BGM，推出DN=MG=MN，求出tan∠CAO==，根据平行线性质求出∠CAO=∠ACN，即可求出答案； （3）分为两种情况：①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E，求出tan∠BMG==，根据∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，推出BM=BE，根据勾股定理得出y=x，与（1）得出关系式组成方程组，即可求出x；②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，tan∠G=，求出x=y，同样得出方程组，求出x即可． （1）【解析】 ∵MN∥AO， ∴△BMN∽△BOA， ∴=， ∵∠C=90°，AC=BC，AB=6， ∴由勾股定理得：BC=3， ∵O是BC边上的中点， ∴BO=， ∵AN=x，BM=y， ∴=， ∴y=（0＜x＜6）； （2）【解析】 ∵以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切， ∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM， ∴MG=MN， ∴∠MNG=∠G， 又∵∠MNG=∠AND， ∴∠AND=∠G， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA， ∴∠DAN=∠MBG， 又∵AN=BG， ∴△AND≌△BGM， ∴DN=MG=MN， ∵∠ACB=90°， ∴CN=DN， ∴∠ACN=∠D， ∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC边上的中点， ∴tan∠CAO==， ∵MN∥AO， ∴∠CAO=∠D， ∴∠CAO=∠ACN， ∴tan∠ACN=； （3）【解析】 ∵∠DAN=∠MBG，当△ADN与△MBG相似时，分为两种情况： ①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E， tan∠BMG==， ∵∠ACB=90°，GE⊥BC， ∴AC∥GE， ∴∠BGE=∠CAB=45°， ∵∠ABC=∠GBE=45°， ∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°， ∴BE=EG， ∴BM=BE， ∴由勾股定理得：y=x， ∵由（1）知：y=， ∴解得：x=2； ②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F， ∴tan∠G==， ∴FG=2MF， ∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠MBF=∠CAB=45°， ∵∠MFB=90°， ∴∠FMB=∠MBF=45°， ∴BF=MF， ∵FG=2MF=BF+BG， ∴BF=BG， ∴x=y， 由（1）知：y=， ∴解得：x=； 综上所述，当△ADN与△MBG相似时，AN的长为2或．