已知在△ABC中，∠BAC=90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足A...

取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根据∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根据三角形的无解外角性质得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可． 【解析】 取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG， 则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF， ∵∠BAC=90°， ∴四边形AEOF是正方形， ∴AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线， ∴AM=CM=BM， ∴∠MAC=∠MCA， ∵∠BAC=90°，AN⊥AM， ∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°， ∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°， ∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP， ∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ， ∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ， ∴∠Q=∠NPQ， ∴PN=QN， ∴=1， 故选A．