已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-（a＞0...

（Ⅰ）首先利用抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-求出抛物线解析式，再利用a=1求出抛物线的顶点坐标即可； （Ⅱ）利用当y=0时，有，求出x的值，进而得出点N的坐标，再利用若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a-1；若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1-a得出答案即可； （Ⅲ）利用平移后的抛物线只有一个不动点，故此方程有两个相等的实数根，得出判别式△=（a-2h）2-4（h2-ak）=0，进而求出k与h，a的关系即可得出顶点（h，k）在直线上． 【解析】 设该抛物线的解析式为， ∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点， ∴， 解得． ∴该抛物线的解析式为 （Ⅰ）当a=1时，该抛物线的解析式为y=-x2+2x， y=-x2+2x=-（x2-2x+1）+1=-（x-1）2+1． 该抛物线的顶点坐标为（1，1）； （Ⅱ）∵点N在x轴上，∴点N的纵坐标为0． 当y=0时，有， 解得x1=0，x2=a+1． ∵点N异于原点，∴点N的坐标为（a+1，0）． ∴ON=a+1， ∵点M在射线AB上，∴点M的纵坐标为1． 当y=1时，有， 整理得出， 解得x1=1，x2=a． 点M的坐标为（1，1）或（a，1）． 当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合， 此时a=1，BM=0，ON=2．ON+BM与ON-BM的值都是常数2． 当点M的坐标为（a，1）时， 若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a-1． ∴ON+BM=（a+1）+（a-1）=2a，ON-BM=（a+1）-（a-1）=2． 若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1-a． ∴ON+BM=（a+1）+（1-a）=2，ON-BM=（a+1）-（1-a）=2a． ∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2， 当a≥1时，ON-BM的值是常数2． （Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为， 由不动点的定义，得方程：， 即t2+（a-2h）t+h2-ak=0． ∵平移后的抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根． ∴判别式△=（a-2h）2-4（h2-ak）=0， 有a-4h+4k=0，即． ∴顶点（h，k）在直线上．