如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），...

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度； （3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标． 【解析】 （1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0）， ∴， 解得a=1，b=4， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3， ∵令x=0，得y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴cos∠CAB=． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==． 如答图1所示，连接O1B、O1C， 由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°， ∴△BO1C为等腰直角三角形， ∴⊙O1的半径O1B=BC=． （3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2． 又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称． 如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称， ∴D（-4，3）． 又∵点M为BD中点，B（-1，0）， ∴M（，）， ∴BM==； 在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3）， 由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=． ∵△BMN∽△BPC， ∴，即， 解得：BN=，MN=． 设N（x，y），由两点间的距离公式可得： ， 解之得，，， ∴点N的坐标为（，）或（，）．