如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、...

（1）方法一：根据点F的坐标求出EF的长，再根据矩形的面积求出CF的长，然后求出点C的坐标，再设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答； 方法二：设抛物线的顶点式形式为y=ax2+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）①过点B作BN⊥PS于N，根据点P在抛物线上设点P的坐标为（a，a2+1），然后表示出PS、OB、BN，再根据图形求出PN=PS-NS，在Rt△PNB中，利用勾股定理列式表示出PB2，然后求出PB，从而得证； ②方法一：设PS=b，QB=c，利用勾股定理列式求出SR=2，假设存在点M，且MS=x，表示出MR=2-x，然后分△PSM和△MRQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到点M为SR的中点；△PSM和△QRM相似时，利用相似三角形对应边成比例列式求解得到x=，然后求出==，从而得到点M与原点O重合； 方法二：根据∠PSM=∠MRQ=90°，分△PSM和△MRQ相似时，根据相似三角形对应角相等可得∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM，再根直角三角形的性质求出∠PMQ=90°，取PQ的中点为N，连接MN，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半表示出MN=PQ=（QR+PS），从而判定MN为梯形SRQP的中位线，得到点M为SR的中点；△PSM和△QRM相似时，根据相似三角形对应边成比例可得==，再根据=，可得点M与原点O重合． 【解析】 （1）方法一：∵F点坐标为（2，2）， ∴EF=2， ∵矩形CDEF的面积为8， ∴CF=4， ∴点C的坐标为（-2，2）， 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，其过三点A（0，1），C（-2，2），F（2，2）， 所以，， 解得， 所以，此函数解析式为y=x2+1； 方法二：设抛物线的解析式为y=ax2+c，其过点A（0，1）和F（2，2）， 所以，， 解得， 所以，此函数解析式为y=x2+1； （2）①过点B作BN⊥PS于N， ∵P点在抛物线y=x2+1上，可设点P（a，a2+1）， ∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=|a|， ∴PN=PS-NS=a2+1-2=a2-1， 在Rt△PNS中，PB2=PN2+BN2=（a2-1）2+（|a|）2=（a2+1）2， ∴PB=a2+1， ∵PS=a2+1， ∴PB=PS； ②方法一：设PS=b，QR=c， 由①知，PS=PB=b，QR=QB=c，PQ=b+c， ∴SR2=（b+c）2+（b-c）2， ∴SR=2， 假设存在点M，且MS=x，则MR=2-x， 若使△PSM∽△MRQ，则有=， 即x2-2x+bc=0， 解得x1=x2=， ∴SR=2， ∴点M为SR的中点； 若使△PSM∽△QRM，则有=， ∴x=， ∴==-1===， ∴M点为原点O； 综上所述，点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；点M为原点时△PSM∽△QRM； 方法二：若以P、S、R为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似， ∵∠PSM=∠MRQ=90°， ∴分△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况， △PSM∽△MRQ时，∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM， 根据直角三角形两锐角互余可得，∠PMS+∠SMR=90°， ∴∠PMQ=90°， 取PQ的中点N，连接MN，则MN=PQ=（QR+PS）， ∴MN为梯形SRQP的中位线， ∴M为SR的中点； △PSM∽△QRM时，==， 又∵=， ∴点M与点O重合， 综上所述，点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；点M为原点时△PSM∽△QRM．