在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点...

（1）在Rt△AOB中，根据AB的长和∠BOA的度数，可求得OA的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C的坐标． （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式． （3）根据（2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作ME⊥CD（即抛物线对称轴）于E，过P作PQ⊥CD于Q，若四边形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CE、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标． 【解析】 （1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H； ∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2， ∴OB=4，OA=2； 由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2， ∴∠COH=60°，OH=，CH=3； ∴C点坐标为（，3）． （2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点， ∴， 解得：； ∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2x． （3）存在． ∵y=-x2+2x的顶点坐标为（，3）， 即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t； ∵∠BOA=30°， ∴ON=t， ∴P（t，t）； 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E； 把x=t代入y=-x2+2x， 得y=-3t2+6t， ∴M（t，-3t2+6t），E（，-3t2+6t）， 同理：Q（，t），D（，1）； 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD， 即3-（-3t2+6t）=t-1， 解得t=，t=1（舍）， ∴P点坐标为（，）， ∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（，）．