如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒...

（1）设P（t，0），将P点的坐标代入解析式y=x+b就可以求出结论； （2）当0≤t≤1和1≤t≤7两种情况，根据三角形的面积公式就可以求出其函数解析式； （3）分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7由二次函数的解析式和一次函数的解析式的性质就可以求出S的最大值； （4）先由条件计算梯形ABCD的面积，再分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7时表示出面积建立方程求出其解即可； （5）当△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB时根据相似三角形的性质就可以求出t值． 【解析】 （1）∵y=x+b过点P，且P（t，0）， ∴0=t+b， ∴b=-t； （2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）， ∴D（1，3） ∴AD=CD=3，AB=7-1=6． ∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b， ∴OP=|-b|，OQ=|b|， ∴OP=OQ， ∴∠NPB=∠OPQ=45°． 过点C作CK⊥AB于K， ∴BK=7-4=3，CK=AD=3， ∴Rt△CKB为等腰直角三角形， ∴∠CBO=45°． ①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t， ∴BQ=7-t， ∴S=S△NBP-S△PMB=（7-t）×3-（1-t）（7-t）， =（7-t）（2+t）， =-t2+t+7 ②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1， ∵∠NPB=∠CBO=45°， ∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E， ∴NE=PB=（7-t）， ∴S=×（7-t）×（7-t）， =（7-t）2； （3）①当0≤t≤1时， S=-t2+t+7， =-（t-）2+， ∵a=-＜0， ∴抛物线的开口向下． ∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大． ∵对称轴为直线t=， ∴t=1时，S最大=9； ②当1≤t≤7时， S=（t-7）2； ∵a=＞0， ∴抛物线的开口向上． ∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小． ∵对称轴为直线t=7， ∴t=1时，S最大=9， 综上所述，t=1时，S最大=9； （4）由题意，得 S梯形ABCD=（3+6）×3=． ①当0≤t≤1时 S=-（t-）2+=， 解得：t=不符合0≤t≤1（舍去）， ②当1≤t≤7时， S=（t-7）2=， 解得：t=7±3 ∵1≤t≤7， ∴t=7-3． （5）当△POQ∽△PCB时， ∴， 如图1，在△CBK中，由勾股定理，得 BC=3， ∵OP=t，PQ=t，BP=7-t， ∴， 解得：t1=0（舍去），t2=1； 当△POQ∽△CPB时， ∴∠POQ=∠BPC=90°， ∴CP⊥AB， ∴PC=3， ∴AP=3， ∴OP=4， ∴t=4． ∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．