已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三...

画出图形，先求出矩形的较长的边与较短的边的范围，然后分①AE与较短的边的夹角的正切值等于时，设BE=m，表示出AB，再根据矩形的周长列式表示出m，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得解，再根据BE与BC的长度范围求出x的取值范围；②AE与较长的边的夹角的正切值等于时，设AB=CD=n，表示出BE，然后根据矩形的周长表示出m，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解，再根据BE、BC的长度范围求出x的取值范围． 【解析】 ∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12， ∴AD＞4，AB＜2， 根据题意，可分为以下两种情况： 第一种情况，如图1， 当tan∠BAE=时，设CE=x，BE=m， 则AB=DC=2m，AD=m+x， ∵AB+AD=6， ∴2（2m+m+x）=12， m=， S梯形AECD=（AD+EC）•DC， =[（m+x）+x]•2m， =m（m+2x）， =•， =-x2+x+4， ＞0，+x＞4， ∴x＜6，x＞3， ∴x的取值范围是3＜x＜6； 第二种情况，如图2， tan∠AEB=时， 设CE=x，AB=CD=n， 则BE=2n，AD=2n+x， ∵矩形的周长为12， ∴AB+AD=6， ∴2（n+2n+x）=12，n=， S梯形AECD=（AD+EC）•DC， =[（2n+x）+x]•n， =n（n+x）， =•， =-x2+x+4， ∵＞0，2×+x＞4， ∴x＜6，x＞0， ∴x的取值范围是0＜x＜6．