已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且...

（1）设直线AB解析式为y=mx+n，将A与B坐标代入求出m与n的值，确定出直线AB解析式，根据F纵坐标为b，E横坐标为a，即可求出E与F的坐标； （2）当PM、PN与线段AB都相交时，如图1所示，三角形EOF的面积由三角形AOB的面积减去三角形AOE的面积减去三角形BOF的面积，求出即可；当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，同理求出三角形EOF的面积； （3）△AOF与△BOE一定相似，根据题意易知∠A=∠B，要证△AOF与△BOE相似，只证夹边对应成比例即可； （4）应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值，即解． 【解析】 （1）根据题意设直线AB的解析式为y=mx+n，将A与B坐标代入得：， 解得：m=-1，n=1， ∴直线AB的解析式为y=-x+1， 将x=a代入解析式得：y=1-a；将y=b代入解析式得：x=1-b， 则点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b）， （2）当PM、PN与线段AB都相交时，如图1， ∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF =×1×1-×1×（1-a）-×1×（1-b）=， 当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3， ∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=×1×b+×1×（a-1）=， ∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=×1×（b-1）+×1×a=， 则S△EOF=； （3）△AOF和△BEO一定相似． ∵如图1，OA=OB=1， ∴∠OAF=∠EBO， ∴BE=BA-AE=-=a， AF=BA-BF=-=b， ∵点P是函数y=图象上任意一点， ∴b=，即2ab=1， ∴a×b=1，即AF•BE=OB•OA， ∴=， ∴△AOF∽△BEO， ∵对图2，图3同理可证， ∴△AOF∽△BEO； （4）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°， 由（3）知，△AOF∽△BEO， ∴∠AFO=∠BOE， 如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B， 而∠BOE=∠BOF+∠EOF， ∴∠EOF=∠B=45°， 对图2，图3同理可证， ∴∠EOF=45°．