如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）...

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可． （2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标． （3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． 【解析】 （1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a-×4-2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b=x2-x-2，即：x2-2x-2-b=0，且△=0； ∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4； ∴直线l：y=x-4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ， 解得： 即 M（2，-3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．