有两张完全重合的三角形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到三角形...

（1）由旋转的性质可以证明△BAD≌△MAF．就可以得出线段BD=MF的数量关系． （2）由条件可知∠F=30°，当∠F为顶角时，可以求出∠KAF=75°，从而求出旋转角β的度数，当∠F为底角时，可以求出∠KAF=30°，从而求出旋转角β的度数． （3）由条件可以证明△ACK∽△AB1D1，可以得出=，由AB1=AM，AF=AD1可以得到=．再由∠B1AM=∠D1AF，就可以得出△ACM∽△AKF．从而得出结论． （4）由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A=x，则PN=x．由条件根据勾股定理可以求出AF2的值，AP的值，再可以得到△DNP∽△DBA，利用相似三角形的性质就可以求出A2A的值． （1）线段BD与MF的数量关系是：BD=MF． 证明：∵△MAF是由△BAD旋转得来的， ∴△BAD≌△MAF． ∴BD=MF． ∴BD与MF的数量关系是：BD=MF． （2）【解析】 当∠F为顶角时， ∴∠AKF=∠KAF， ∴∠AKF+∠KAF+∠F=180°，且∠F=30°． ∴∠KAF==75°． ∴∠MAK=15°． 即β=15°． 当∠F为底角时， ∠F=∠KAF， ∵∠F=30°． ∴∠KAF=30°． ∴∠MAK=60°，即β=60°． 综上所述：当∠F为顶角时，β=15°． 当∠F为底角时，β=60°． （3）证明：∵KC∥B1D1， ∴△ACK∽△AB1D1． ∴=． ∵△AB1D1≌△AMF， ∴AB1=AM，AF=AD1， ∴=． ∵∠B1AD1=∠MAF=90°， ∴∠B1AM=∠D1AF， ∴△ACM∽△AKF． （4）【解析】 如图4，由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A=x，则PN=x． 在Rt△A2M2F2中， ∵M2F2=MF=BD=8，∠A2F2M2=∠AFM=∠ADB=30°． ∴M2A2=4，A2F2=， ∴AF2=-x． 在Rt△PAF2中， ∵∠PF2A=30°． ∴AP=AF2•tan30°=（-x）•=4-x． ∴PD=AD-AP=-4+x． ∵NP∥AB， ∴∠DNP=∠B． ∵∠D=∠D， ∴△DNP∽△DBA． ∴= ∴=， 解得x=6-． 即A2A=6-． 故平移的距离是（6-）cm．