如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，...

（1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式． （2）①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标． ②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值． （3）根据（2）中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论： ①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标． ②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可． （本题也可通过以AP为底，找出和点M到AP的距离相等的两条直线，然后联立抛物线的解析式进行求解即可）． 【解析】 （1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx， ∵A（2，4）， ∴2k=4， ∴k=2， ∴OA所在直线的函数解析式为y=2x． （2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， ∴y=2m（0≤m≤2）． ∴顶点M的坐标为（m，2m）． ∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m． ∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）． ∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）． ②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3， 又∵0≤m≤2， ∴当m=1时，PB最短． （3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2 即y=x2-2x+3． 假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA． 设点Q的坐标为（x，x2-2x+3）． ①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C， ∵PB=3，AB=4， ∴AP=1， ∴OC=1， ∴C点的坐标是（0，-1）． ∵点P的坐标是（2，3）， ∴直线PC的函数解析式为y=2x-1． ∵S△QMA=S△PMA， ∴点Q落在直线y=2x-1上． ∴x2-2x+3=2x-1． 解得x1=2，x2=2， 即点Q（2，3）． ∴点Q与点P重合． ∴此时抛物线上存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等． ②当点Q落在直线OA的上方时， 作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E， ∵AP=1， ∴EO=DA=1， ∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线DE函数解析式为y=2x+1． ∵S△QMA=S△PMA， ∴点Q落在直线y=2x+1上． ∴x2-2x+3=2x+1． 解得：x1=2+，x2=2-． 代入y=2x+1得：y1=5+2，y2=5-2． ∴此时抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2） 使△QMA与△PMA的面积相等． 综上所述，抛物线上存在点，Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），Q3（2，3），使△QMA与△PMA的面积相等．