已知，如图，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于...

（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上； （2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式； （3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案． 【解析】 （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0）， 两边都除以a得： 即x2+2x-3=0， 解得x1=-3，x2=1， ∵B点在A点右侧， ∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0）， 答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）． 证明：∵直线l：， 当x=-3时，， ∴点A在直线l上． （2）∵点H、B关于过A点的直线l：对称， ∴AH=AB=4， 过顶点H作HC⊥AB交AB于C点， 则，， ∴顶点， 代入二次函数解析式，解得， ∴二次函数解析式为， 答：二次函数解析式为． （3）直线AH的解析式为， 直线BK的解析式为， 由， 解得， 即， 则BK=4， ∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2）， ∴HN+MN的最小值是MB，， 过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，， 则QM=MK，，AE⊥QK， ∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值， ∵BK∥AH， ∴∠BKQ=∠HEQ=90°， 由勾股定理得QB===8， ∴HN+NM+MK的最小值为8， 答：HN+NM+MK和的最小值是8．