如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，过点D的切线交BC的延长线于点E．...

连接AC，由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等，再由BE垂直于DE得到∠E为直角，进而得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，等量代换及等角对等边得到AD=DC，由AD+DC=40求出AD=DC=20，由圆四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形DEC与三角形ABD相似，由AD，DC，AB的长求出CE的长，根据勾股定理求出DE的长，再利用切割线定理求出EB的长，由EB-EC即可求出BC的长，根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDB=∠CAB，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tan∠CAB的值，即为tan∠CDB的值． 【解析】 连接AC， ∵AB为直径，BE⊥DE， ∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°， ∴DE∥AC， ∴∠EDC=∠DCA， ∵ED切圆O于点D， ∴∠EDC=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴AD=DC， ∵AD+DC=40， ∴AD=DC=20， ∵圆O的半径为，AB为直径， ∴AB=， ∵四边形ABCD内接于半圆O， ∴∠DCE=∠DAB， 又∵∠E=∠ADB=90°， ∴△CDE∽△ABD， ∴===， ∴CE=AD=×20=12， ∴DE===16， ∵DE是切线，ECB是割线， ∴ED2=EC•EB， ∴EB===， ∴BC=BE-CE=， ∴AC===32， ∴tan∠CAB===， ∵∠CDB=∠CAB， ∴tan∠CDB=tan∠CAB=， 则BC=，tan∠CDB=．