已知：a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，抛物线y=x2-2ax+b2...

（1）将点M（a+c，0）代入抛物线y=x2-2ax+b2，整理可得a2=b2+c2，从而判断出三角形为直角三角形； （2）①根据S△MNP=3S△NOP，判断出MN=3ON，即MO=4ON，求出N点坐标的表达式，得到x=a+c和x=是方程x2-2ax+b2=0的两根，求出a、c之间的关系，然后根据锐角三角函数的定义求出cosC==． ②过D作DE⊥x轴于点E，则NE=EM，DN=DM，要使以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x2-2ax+b2的顶点，则使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM．据此进行计算即可． 【解析】 （1）∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0）， ∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0，即a2=b2+c2． 由勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形． （2）①如图1所示∵S△MNP=3S△NOP， ∴MN=3ON，即MO=4ON，又M（a+c，0）， ∴N（，0）， ∴x=a+c和x=是方程x2-2ax+b2=0的两根， 此时两个为x1，2==a±， ∴a+c+=2a， ∴c=a，由（1）知：在△ABC中，∠A=90°，由勾股定理得b=a， ∴cosC==． ②能，由（1）知：y=x2-2ax+b2=x2-2ax+a2-c2=（x-a）2-c2， ∴顶点D（a，-c2）． 过D作DE⊥x轴于点E，则NE=EM，DN=DM，要使以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x2-2ax+b2的顶点，则使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM． ∵M（a+c，0），D（a，-c2）， ∴DE=c2，EM=c， ∴c2=c，又c＞0， ∴c=1． ∵c=a，b=a， ∴a=，b=； ∴当a=，b=，c=1时，△MND为等腰直角三角形． 此时，EM=ED=EN，以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x2-2ax+b2的顶点．