已知：半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交⊙O...

（1）根据，得出∠DOC=∠AOC，进而求出PC=OC，以及△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性质得出即可； （2）作OE⊥CD，求出△PBC∽△PEO，进而得出=，即可求出y与x的关系式； （3）分别利用若点D在外部时，以及利用若点D在上时，利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数关系得出tan∠P的值即可． 【解析】 （1）连接OC，如图1， ∵， ∴∠DOC=∠AOC， 又∵BC垂直平分OP， ∴PC=OC， 而OA=4， ∴CP=OC=4， ∴∠P=∠POC， ∴∠CPO=∠COD， 而∠PDO=∠ODC， ∴△DOC∽△DPO， ∴DC：OD=OD：DP，即OD2=DC•DP， ∴DC（DC+4）=16， ∴CD=2-2； （2）作OE⊥CD，垂足为E，如图1， 则CE=CD=y， ∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°， ∴△PBC∽△PEO， ∴=， 而PB=OP=（x+4），PE=PC+CE=4+y， ∴， ∴y=x2+2x-4（4-4＜x＜4）； （3）若点D在外部时， 连接OC和OE． 显然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO， ∴∠CPB=∠COB=x（不妨设其大小为x） ∴∠DCO=2x．（三角形外角的性质定理）， 同时，PC=OC=R=4， ∵CE=DE（已知） ∴由垂径定理可知：OE⊥CD， 在△Rt△OEC和Rt△OED中， ∵， ∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS） ∴∠ODC=∠OCD=2x． 同时，由锐角三角函数定义， 在Rt△OPE中． tan∠APD=， ∵∠CBO=∠CEO=90°， ∴四点B，C，E，O四点共圆， ∴由同圆中，同弧上的圆周角相等可知 ∠BEC=∠BOC=x， ∴∠DEF=∠BEC（对顶角相等）=∠BOC=x． 在△DEF中，由三角形外角性质定理， ∠ODC=∠F+∠DEF， ∴2x=∠F+x， ∴∠F=x． ∴△DEF为等腰三角形， CE=DE=DF=1． ∴PE=PC+CE=4+1=5， 在Rt△ODE中，DE=1，OD=R=4， ∴由勾股定理可得OE=， ∴tan∠P==， 若点D在上时， 同理可知 CE=DE=DF=1，PC=OC=r=4， 故PE=3，OE=， 则tan∠P==．