操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC...

（1）过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB． （2）设AP=x，故AM=MP=NQ=DN=x，由（1）的结论，可得CQ=CD-DQ=1-2×x=1-x； 根据图形可得关系S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，代入数据可得解析式． （3）分①当点P与点A重合，与②当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案． 【解析】 （1）PQ=PB， 证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形， △AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1）． ∴NP=NC=MB ∵∠BPQ=90° ∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ∴∠QPN=∠PBM． 又∵∠QNP=∠PMB=90° ∴△QNP≌△PMB（ASA）， ∴PQ=PB． （2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP． ∵AP=x， ∴AM=MP=NQ=DN=x，BM=PN=CN=1-x， ∴CQ=CD-DQ=1-2×x=1-x ∴S△PBC=BC•BM=×1×（1-x）=-x， S△PCQ=CQ•PN=×（1-x）（1-x）=-x+x2， ∴S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=x2-x+1， 即y=x2-x+1（0≤x）． （3）△PCQ可能成为等腰三角形． ①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0； ②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）， 此时，QN=PM=x，CP=-x，CN=CP=1-x， ∴CQ=QN-CN=x-（1-x）=x-1， 当-x=x-1时，得x=1． ③BP⊥AC，Q点与C点重合，PQ=CP，△PCQ不存在． 综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．