已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象...

（1）由于点Q从点O运动到点C需要秒，点P从点A→O→B需要秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜；②≤t＜．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围； （2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果； （3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4． 【解析】 （1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图） ∵OC=AC，∠ACO=120°， ∴∠AOC=∠OAC=30°． ∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1． 在Rt△ODC中，OC===（1分） （i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t． 过点Q作QE⊥OA于点E．（如图） 在Rt△OEQ中， ∵∠AOC=30°， ∴QE=OQ=， ∴S△OPQ=OP•EQ=（2-3t）•=-+t， 即S=-+t；（3分） （ii）当＜t≤时（如图） OQ=t，OP=3t-2． ∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°． ∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t-2）=-t， 即S=-t； 故当0＜t＜时，S=-+t，当＜t≤时，S=-t（5分） （2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9分） （3）△BMN的周长不发生变化．理由如下： 延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图） 又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC， ∴△MOC≌△FAC， ∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分） ∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA =∠OCA-∠MCN =60°， ∴∠FCN=∠MCN． 在△MCN和△FCN中， ， ∴△MCN≌△FCN， ∴MN=NF．（11分） ∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4． ∴△BMN的周长不变，其周长为4．