如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，OC...

（1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式； （2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值； （3）若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根据相似三角形得到的比例线段求出t的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线BP的解析式；可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式． （1）【解析】 ∵CQ=t，OP=t，CO=8， ∴OQ=8-t． ∴S△OPQ=（0＜t＜8）；（3分） （2）证明：∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△CBQ-S△PAB ==32；（5分） ∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；（6分） （3）【解析】 当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°， 又∵BQ与AO不平行， ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ， ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分）， ∴=， ∴， 解得：t1=4，t2=8 经检验：t=4是方程的解且符合题意，t=8不是方程的解，舍去；（从边长关系和速度考虑）， ∴QO=4， ∴直线QB的解析式为：y=x+4， 此时P（，0）； ∵B（，8）且抛物线经过B、P两点， ∴抛物线是，直线BP是：（8分）． 设M（m，）、N（m，）． ∵M在BP上运动， ∴ ∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P； ∴当时，y1＜y2（9分） ∴MN=|y1-y2| =|m2-2m+8-（m-8）| =m-8-（m2-2m+8） =m-8-m2+2m-8 =-m2+3m-16 =， ∴当时，MN有最大值是2； ∴设MN与BQ交于H点则，； ∴S△BHM== ∴S△BHM：S五边形QOPMH==3：29 ∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分）