如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，ctgA=． （1）当∠PBC...

（1）由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度，通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度；然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度； （2）设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式； （3）根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线；然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值． 【解析】 （1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，ctgA=， ∴=． 又∵AB=10，AB2=AC2+BC2， ∴AC=8，BC=6． ∵∠PBC=∠A，∠PCB=∠BCA=90°， ∴△PBC∽△BAC， ∴=，即=， ∴PC=， ∴AP=AC-PC=； （2）如图1，设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．连接AO并延长AO交BC于点H．则AH是∠BAC的平分线． 根据角平分线定理知，=，即=， ∴CH=． ∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC； 又∵BC⊥AC， ∴OD∥BC． 在△PBC中，=，即=，则PD=． 在△ACH中，=，即==，则y=（0＜x＜8）； （3）【解析】 sinA＞．理由如下： 如图2，∵⊙O与边AB、AC、BC都相切， ∴BP是∠CBA的平分线， ∴=，即=，则AP=5，CP=3． ∴在直角△BCP中，根据勾股定理知BP=3． ∵AP=x，⊙O的半径为y，y=， ∴OD==2． ∵OD⊥AC，BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴=，即=，则OP=， ∴sinA===，=， ∴sinA＞．