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已知两个关于x的二次函数y1与y2,y1=a(x-k)2+2(k>0),y1+y...

已知两个关于x的二次函数y1与y2,y1=a(x-k)2+2(k>0),y1+y2=x2+6x+12;当x=k时,y2=17;且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=-1.
(1)求k的值;
(2)求函数y1,y2的表达式;
(3)在同一直角坐标系内,问函数y1的图象与y2的图象是否有交点?请说明理由.
(1)根据题意把y1代入y1+y2=x2+6x+12中即可求出y2,又当x=k时,y2=17,代入函数解析式,求出k的值; (2)根据k的值及y2的图象的对称轴求出a的值,即可求出二次函数的解析式; (3)根据题意画出各函数的图象,便可直接解答; 【解析】 (1)由y1=a(x-k)2+2,y1+y2=x2+6x+12, ∴y2=(y1+y2)-y1, =x2+6x+12-a(x-k)2-2, =x2+6x+10-a(x-k)2, 又∵当x=k时,y2=17, 即k2+6k+10=17, ∴k1=1,或k2=-7(舍去), 故k的值为1; (2)由k=1,得y2=x2+6x+12-a(x-1)2-2=(1-a)x2+(2a+6)x+10-a, ∴函数y2的图象的对称轴为x=-, ∴-=-1, ∴a=-1, 所以y1=-x2+2x+1,y2=2x2+4x+11; (3)由y1=-(x-1)2+2,得函数y1的图象为抛物线,其开口向下, 顶点坐标为(1,2); 由y2=2x2+4x+11=2(x+1)2+9,得函数y2的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为(-1,9); 故在同一直角坐标系内,函数y1的图象与y2的图象没有交点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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