如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A（1，1）、...

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式． （2）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式． （3）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在． 【解析】 （1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点， 设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）． 把A（1，1），B（3，1）代入上式得：（1分） ， 解得．（3分） ∴所求抛物线解析式为y=-x2+x．（4分） 方法二：∵A（1，1），B（3，1）， ∴抛物线的对称轴是直线x=2． 设抛物线解析式为y=a（x-2）2+h（a≠0）（1分） 把O（0，0），A（1，1）代入 得， 解得，（3分） ∴所求抛物线解析式为y=-（x-2）2+．（4分） （2）分三种情况：S=t2，BM=BN=1-（t-3）=4-t ①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F， ∵A（1，1）， ∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°， ∴PQ=OQ=tcos 45°=t．S=t2，（6分） ②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°， 则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGP． ∴AG=FH=t-2， ∴S=（AG+OP）AF=（t+t-2）×1=t-1．（8分） ③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC． 因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形， 所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN． ∵B（3，1），OP=t， ∴PC=CN=t-3， ∴S=（2+3）×1-（4-t）2， S=-t2+4t-．（10分） （3）存在． 当O点在抛物线上时，将O（t，t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去），t=1； 当Q点在抛物线上时，Q（t，t）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2． 故t=1或2．