如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10...

（1）已知了AB的长和B点的坐标，那么sin∠BAO==，因此∠BAO=60° （2）由函数的图形可知：当t=5时，三角形OPQ的面积是30，如果设点P的速度为a，那么AP=5a，那么P到AC的距离就是a，也就是P到OQ的距离为10-a．OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-）×=30，解得a=1.6，a=2．由于抛物线的解析式为S=（at+2）（10-）×，经化简后可得出对称轴应该是t=，当a=1.6时，对称轴t=5.625显然大于5，与给出的抛物线的图形不相符，因此a=2是本题的唯一的解．也就是说P的速度是2单位/秒． （3）根据（2）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值，然后根据P，Q的速度和t的取值，可求出P点的坐标． （4）本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围，当∠OBQ的度数大于90°，∠OCQ的度数小于90°时，那么在AB，BC上分别有一个符合要求的点P，如果∠OBQ的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点． 【解析】 （1）∵顶点B的坐标为，AB=10， ∴sin∠BAO==， ∴∠BAO=60度． （2）点P的运动速度为2个单位/秒． （3）过P作PM⊥x轴， ∵点P的运动速度为2个单位/秒． ∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t， 又∵∠APM=30°， ∴AM=t，又OA=10， ∴OM=（10-t），即为三角形OPQ中OQ边上的高， 而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2， ∴P（10-t，t）（0≤t≤5）， ∵S=OQ•OM=（2t+2）（10-t）， =-（t-）2+． ∴当t=时，S有最大值为，此时P（，）． （4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个． ①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°， 当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度， 作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H， 由△OPH∽△OPM得：OM==11.5， 所以OQ＞OM，从而∠OPQ＞90度． 所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90°的点P有1个． ②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+=17.8， 而构成直角时交y轴于（0，），=20.2＞17.8， 所以∠OCQ＜90°，从而∠OPQ=90°的点P也有1个． 所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．