如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′...

（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）本题要分两种情况进行讨论： ①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点． ②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值． 【解析】 （1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC， 又∵∠AOC=∠COB=90°， ∴△AOC∽△COB， ∴． 又∵A（-1，0），B（9，0）， ∴， 解得OC=3（负值舍去）． ∴C（0，-3）， 故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=， ∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9）， 即y=x2-x-3． （2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0）， ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， ∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°， 连接O′D交BC于点M， 则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5． ∴O′D⊥x轴 ∴D（4，-5）． ∴设直线BD的解析式为y=kx+b， ∴， 解得 ∴直线BD的解析式为y=x-9． ∵C（0，-3）， 设直线BC的解析式为：y=ax+b， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=x-3． （3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD， 解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 =． 分两种情况（如图所示）： ①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）． ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合， 因此，点Q1（7，-4）符合 =， ∵D（4，-5），Q1（7，-4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x-． 解方程组 得 ∴点P1坐标为（ ，），坐标为（ ，）不符合题意，舍去． ②∵Q1（7，-4）， ∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 =． ∵D（4，-5），Q2（7，4）． ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17． 解方程组 得 ， 即 ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去． ∴符合条件的点P有两个：P1（ ，），P2（14，25）． 解法二：分两种情况（如图所示）： ①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD． ∵B（9，0），C（0，-3）． ∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x-3． 又∵DP1∥CB， ∴设直线DP1的解析式为y=x+n． 把D（4，-5）代入可求n=-， ∴直线DP1解析式为y=x-． 解方程组 得 ∴点P1坐标为（ ，）或（ ，）（不符合题意舍去）． ②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS）， ∴∠NDB=∠CBD． 由①知，直线BC解析式为y=x-3． 取x=4，得y=-， ∴M（4，-）， ∴O′N=O′M=， ∴N（ ，0）， 又∵D（4，-5）， ∴直线DN解析式为y=3x-17． 解方程组 得 ， ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去． ∴符合条件的点P有两个：P1（ ，），P2（14，25）． 解法三：分两种情况（如图所示）： ①求点P1坐标同解法二． ②过C点作BD的平行线，交圆O′于G， 此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD． 由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9， 又∵C（0，-3） ∴可求得CG的解析式为y=x-3， 设G（m，m-3），作GH⊥x轴交于x轴与H， 连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7， 由D（4，-5）与G（7，4）可得， DG的解析式为y=3x-17， 解方程组 得 ， 即 ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去． ∴符合条件的点P有两个：P1（ ，），P2（14，25）．