如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．...

（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解； （2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解； （3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【解析】 （1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形． ∴KH=AD=3． 在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4． 在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3． ∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10． （2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形． ∵MN∥AB， ∴MN∥DG． ∴BG=AD=3． ∴GC=10-3=7． 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2t． ∵DG∥MN， ∴∠NMC=∠DGC． 又∠C=∠C， ∴△MNC∽△GDC． ∴， 即． 解得，． （3）分三种情况讨论： ①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t， ∴． ②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E． 解法一： 由等腰三角形三线合一性质得 EC=MC=（10-2t）=5-t． 在Rt△CEN中，cosC==， 又在Rt△DHC中，cosC=， ∴． 解得t=． 解法二： ∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°， ∴△NEC∽△DHC． ∴， 即． ∴t=． ③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t． 解法一：（方法同②中解法一）， 解得． 解法二： ∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°， ∴△MFC∽△DHC． ∴， 即， ∴． 综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．