已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中...

（1）由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC为等边三角形，由AC的长求出AD与BD的长，同时求出∠ABC=30°，由BM与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都为直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC为30°，利用两直线平行内错角相等可得出∠BFD也为30°，而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA为30°，利用对顶角相等得到∠BDF为30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角对等边可得出BD=BF，由BD的长即可求出BF的长； （2）当点G在点F的右侧时，如图2所示，①由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到CE′∥AB，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到∠BDG=∠BFD，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD得比例，将各自的值代入即可列出y与x的函数关系式，求出x的范围即可； （3）分两种情况考虑：（i）当点G在点F的右侧时，在y与x的关系式中，令y=6列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示，列出此时y与x的关系式，令y=6列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长，综上，得到所有满足题意的AE的长． 【解析】 （1）∵∠ACB=90°，AD=BD， ∴CD=AD=BD， ∵∠BAC=60°， ∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC， ∵AC=4， ∴AD=BD=AC=4， ∵BM∥AC， ∴∠MBC=∠ACB=90°， 又∵CD⊥EF， ∴∠CDF=90°， ∴∠BDF=30°， ∴∠BFD=30°， ∴∠BDF=∠BFD， ∴BF=BD=4； （2）①证明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°， ∴∠ADC=∠E′CD， ∴CE′∥AB， ∴∠CE′D=∠BDG， ∵BM∥AC， ∴∠CED=∠BFD， 又∵∠CE′D=∠CED， ∴∠BDG=∠BFD， ∵∠DBF=∠GBD， ∴△BDF∽△BGD； ②由△BDF∽△BGD，得=， ∵D为AB的中点， ∴BD=AD， 又∵BM∥AC， ∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA， 在△BFD和△AED中， ∵， ∴△BFD≌△AED（AAS）， ∴BF=AE=x， ∴=， ∴BG=， 在Rt△ABC中，AB=8，AC=4， 根据勾股定理得：BC==4， ∵点D到直线BM的距离d=BC=2， ∴S△DFG=FG•d=（BG-BF）•d，即y=×（-x）×2=-x（0＜x＜4）； （3）（i）当点G在点F的右侧时， 由题意，得6=-x， 整理，得x2+6x-16=0， 解得x1=2，x2=-8（不合题意，舍去）； （ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示： 同理得到S△DFG=FG•d=（BF-BG）•d，即y=x-（x＞4）， 由题意，得6=x-， 整理，得x2-6x-16=0， 解得x3=8，x4=-2（不合题意，舍去）， 综上所述，AE的值为2或8．