已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点...

（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为M、N，由四边形内角和定理可知∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，则∠EPF=∠APB，可证∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，可证△EPA≌△FPB，得出结论； （2）由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，可证△PBC∽△POB，由S△POB=3S△PCB可知，PO=3PC，再利用相似比求解； （3）作BH⊥OT，垂足为T，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°，又∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，可求∠ABO度数为75°，从而∠OBP=105°，在△OBP中，∠BOP=30°，则∠BPO=45°，分别解Rt△OBH，Rt△PBH即可求OP． 【解析】 （1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F ∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°， ∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°， ∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB， ∴∠EPA=∠FPB， 由角平分线的性质，得PE=PF， ∴△EPA≌△FPB，即PA=PB； （2）∵S△POB=3S△PCB， ∴PO=3PC， 由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP， 又∵∠BPC=∠OPB（公共角）， ∴△PBC∽△POB， ∴=， 即PB2=PO•PC=3PC2， ∴= （3）作BH⊥OT，垂足为H， 当∠MON=60°时，∠APB=120°， 由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB）=30°， 又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°， ∴∠ABO=（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°， 在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°， 在Rt△OBH中，BH=OB=1，OH=， 在Rt△PBH中，PH=BH=1， ∴OP=OH+PH=+1．