在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四...

（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质； （2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形； （3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）； （4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状． 【解析】 （1）四边形EGFH是平行四边形；（1分） 证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O， ∴点O是▱ABCD的对称中心； ∴EO=FO，GO=HO； ∴四边形EGFH是平行四边形；（3分） （2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH， ∴四边形EGFH是菱形；（1分） （3）菱形；（1分） （4）四边形EGFH是正方形；（1分） 证明：∵AC=BD， ∴▱ABCD是矩形； 又∵AC⊥BD， ∴▱ABCD是正方形， ∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC； ∵EF⊥GH， ∴∠GOF=90°； ∴∠BOG=∠COF； ∴△BOG≌△COF（ASA）； ∴OG=OF，∴GH=EF；（2分） 由（3）知四边形EGFH是菱形， 又EF=GH， ∴四边形EGFH是正方形．（1分）