如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x...

（1）由图知图形很特殊，利用直线的平行关系，求出直角，在直角三角形中解题，从而求出OH的长； （2）由几何关系求出P点坐标，将△OPQ的面积为S用t来表示，转化为求函数最值问题； （3）思维要严密，△OPM为等腰三角形时，要分三种情况来讨论；最后一问求出M点坐标，同样转化为函数最值问题． 【解析】 （1）∵AB∥OC ∴∠OAB=∠AOC=90° 在Rt△OAB中，AB=2，AO=2 ∴OB=4，tan∠ABO=， ∴∠ABO=60°， ∵AB∥OC ∴∠BOC=60° 又∵∠BCO=60° ∴△BOC为等边三角形 ∴OH=OBcos30°=4×=2； （2）∵OP=OH-PH=2-t ∴xp=OPcos30°=3-t， yp=OPsin30°=-t． ∴S=•OQ•xp=•t•（3-t） =（o＜t＜2） 即S=- ∴当t=时，S最大=； （3）①若△OPM为等腰三角形，则： （i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC ∴PQ∥OC ∴OQ=yp即t=- 解得：t= 此时S= （ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45° 过P点作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP 即t-（-t）=3-t 解得：t=2 此时S= （iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA 此时Q在AB上，不满足题意． ②线段OM长的最大值为．