如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直...

（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可； （2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t＜2，过P作PH⊥OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可④t=4时，求出即可； （3）有三种情况：①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时不存在等腰三角形；③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案． （1）【解析】 ∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2， ∴∠B=30°， ∴OA=OB=， 由勾股定理得：AB=3， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B， ∴OC=BC， 在△AOC中，AO2+AC2=CO2， ∴+（3-OC）2=OC2， ∴OC=2=BC， 答：OC=2，BC=2． （2）【解析】 ①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2， 则CP=2-t，CQ=t， 过P作PH⊥OC于H， ∠HCP=60°， ∠HPC=30°， ∴CH=CP=（2-t），HP=（2-t）， ∴S△CPQ=CQ×PH=×t×（2-t）， 即S=-t2+t； ②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在， ∴S=0， ③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4， 过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z， ∵CO=2，∠NOC=60°， ∴CZ=， CP=t-2，OQ=t-2， ∠NOC=60°， ∴∠GPO=30°， ∴OG=OP=（4-t），PG=（4-t）， ∴S△CPQ=S△COQ-S△OPQ=×（t-2）×-×（t-2）×（4-t）， 即S=t2-t+． ④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3） 过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K， ∵∠B=30°，由（1）知BC=2， ∴CM=BC=1， 有勾股定理得：BM=， ∵OB=2， ∴OM=2-==CK， ∴S=PQ×CK=×2×=； 综合上述：S与t的函数关系式是：S=； ． （3）【解析】 如图（2），∵ON⊥OB， ∴∠NOB=90°， ∵∠B=30°，∠A=90°， ∴∠AOB=60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=30°， ∴∠NOC=90°-30°=60°， ①OM=PM时， ∠MOP=∠MPO=30°， ∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°， ∴OP=2OQ， ∴2（t-2）=4-t， 解得：t=， ②PM=OP时， 此时∠PMO=∠MOP=30°， ∴∠MPO=120°， ∵∠QOP=60°， ∴此时不存在； ③OM=OP时， 过P作PG⊥ON于G， OP=4-t，∠QOP=60°， ∴∠OPG=30°， ∴GO=（4-t），PG=（4-t）， ∵∠AOC=30°，OM=OP， ∴∠OPM=∠OMP=75°， ∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°， ∴PG=QG=（4-t）， ∵OG+QG=OQ， ∴（4-t）+（4-t）=t-2， 解得：t= 综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．