已知正方形ABCD的边长为2，以BC边为直径作半圆O，P为DC上一动点（可与D重...

（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到∠BEC=90°，而正方形的内角也为直角，从而得到∠BEC=∠QBC，又根据两直线平行得同位角的相等以及同角的余角相等得到∠BOQ=∠BPC，根据两组对应角相等的两三角形相似，进而得证； （2）根据时间t的范围分两种情况考虑：当0≤t≤1时，Q在AB上，直线l截正方形所得左侧部分图形为直角三角形，由两对对应角相等的两三角形相似得到△OBQ∽△PBC，得到比例式，求出QB的长，以及OB的长，求出三角形的面积即为所求的S；当1＜t＜2时，Q在AD上，此时S表示梯形ABOQ面积，过点Q作QM⊥BC，交BC于点M，利用“ASA”证明△QOM≌△BPC，得到OM=CP，表示出CP得到OM的长，再表示出AQ的长，根据梯形的面积公式即可求出S； （3）利用反证法，方法是根据图形表示出三角形OPQ的三边，分别假设其中的两者相等，推出矛盾，假设错误，故以O、P、Q为顶点的三角形不可能是等腰三角形． 【解析】 （1）∵直径所对的圆周角为90°， ∴∠BEC=90°=∠QBC， ∵直线l∥CE交AB（或AD）于点Q． ∴∠BOQ=∠BCE， 又∠BCE+∠PCE=90°，∠PCE+∠BPC=90°， ∴∠BOQ=∠BPC， ∴△OBQ∽△PEC； （2）当0≤t≤1时，Q在AB上， ∵∠OBQ=∠PCB=90°， 又∵∠PBC+∠QOB=90°，∠QOB+∠BQO=90°， ∴∠PBC=∠BQO， ∴△OBQ∽△PBC， ∴QB：BC=BO：PC，即QB：2=1：（2-t）， 解得：QB=，又OB=BC=1， 则S=OB•QB=； 当1＜t＜2时，Q在AD上，此时S表示梯形ABOQ面积， 根据题意画出图形，如图所示： 过点Q作QM⊥BC，交BC于点M， ∵ABCD为正方形， ∴∠QMO=∠BCP=90°，AB=BC=QM， 又∠QOM+∠OQM=90°，∠QOM+∠PBC=90°， ∴∠OQM=∠PBC， ∴△QOM≌△BPC， 又DP=t，DC=2，得到：CP=2-t， ∴OM=PC=2-t， ∴AQ=1-（2-t）=t-1， 则S==t； （3）当Q在AD上（不含端点）上时， 连接PQ，由QM=2，OM=2-t， 根据勾股定理得：OQ2=4+（2-t）2=t2-4t+8， 又QD=2-（t-1）=3-t，DP=t， 根据勾股定理得：QP2=（3-t）2+t2=2t2-6t+9， 连接OP，由PC=2-t，OC=1， 根据勾股定理得：OP2=12+（2-t）2=t2-4t+5， 显然OP≠OQ； 假设OP=PQ，即2t2-6t+9=t2-4t+5， 解得t=2， P与C重合，不合题意，假设错误，故OP≠PQ， 若OQ=PQ，t2-4t+8=2t2-6t+9， 整理得：t2-2t+1=0，即（t-1）2=0， 解得：t=1， 不合题意，假设错误，故OQ≠PQ； ∴当Q落在AD（不含端点）上时，以O、P、Q为顶点的三角形不可能是等腰三角形．