已知，如图，过点A、O的圆与y轴相交于一点C，与AB相交于一点E，直线AB的解析...

（1）因为直线AB的解析式为y=kx+4k，设y=0可得直线和x轴交点的坐标，利用锐角三角函数和已知条件可求出角BAO的度数，再解直角三角形ABO即可求出OB的长，进而求出B的坐标； （2）利用有两对角相等的三角形相似可先证明△ACB∽△OEB，利用已知条件求出角BA0的度数，进一步得到三角形AOB是等腰直角三角形，进而得到直线的解析式，又因为抛物线的顶点坐标在P在直线上，可求出a的值，设任意一点M（x，y），能使（x+2）2+（y-2+m）2=（y-2-m）2成立，由抛物线的解析式和已知等式即可求出m的值． 【解析】 （1）∵点C的坐标为（0，）， ∴OC=， ∵直线AB的解析式为y=kx+4k，设y=0， ∴x=-4， ∴A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4， ∵tan∠CAO==， ∴∠CAO=30°， ∵AC平分∠BAO， ∴∠BAO=60°， ∴BO=AO•tan60°=4×=4， ∴B（0，4）； （2）∵∠B=∠B，∠BAC=∠BOE， ∴△ACB∽△OEB， ∴， ∵AC=OE， ∴=， ∵sin∠BAO==， ∴∠BAO=45°， ∴AO=BO=4， ∴B坐标为（4，0） 把B坐标为（4，0）代入y=kx+4k得：k=1， ∴直线AB的解析式为y=x+4， ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、O， ∴可设y=a（x-0）（x+4）=a（x2+4x+4）-4a=a（x+2）2-4a， ∴顶点P的坐标为（-2，-4a）， ∵顶点P在直线上， ∴-2+4=-4a， ∴a=-， ∴y=-（x+2）2+2， 设任意一点M（x，y），能使（x+2）2+（y-2+m）2=（y-2-m）2成立， 则（x+2）2=（y-2-m）2-（y-2+m）2成立， ∴（x+2）2=2（y-2）（-2m） 又∵y=-（x+2）2+2， ∴（x+2）2=4-2y， ∴4-2y=-4my+8m， ∴4=8m，-2y=-4my， ∴m=， 即存在m=，对于抛物线y=-（x+2）2+2上任意一点，都能使（x+2）2+（y-2+m）2=（y-2-m）2成立．