平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，...

（1）首先将已知的抛物线解析式进行配方，得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标，由OB=OC的条件能得到C点坐标，利用待定系数法即可确定函数的解析式． （2）此题需要进行适当转化，首先作△ABC的外切圆，根据圆周角定理可知：P点应为抛物线对称轴与⊙E的交点（相关字母参考解答图，下同），那么只需求出圆心E的坐标和⊙E的半径即可得到P点坐标．首先由A、B的坐标可确定F点的坐标以及AF的长，而弦BC的垂直平分线过点E，由此可确定该中垂线的解析式，进一步可确定点E的坐标；然后在Rt△AEF中，通过解直角三角形可得到圆的半径长，由此求出全部条件． （3）A、A′关于角平分线对称，那么QA、QA′也关于该角平分线对称，即QA=QA′，那么QA-QB的长其实就是AB的长，可由这个条件入手解答；易知点D、B的坐标，能求出∠ABD的度数（或相关三角函数值），过A′作A′N⊥x轴，在构建的Rt△A′BN中，∠A′BN的度数已求出，可得到BN、A′N的长，即可求出A′的坐标和直线A′B的解析式，然后设出点Q坐标，表示出AQ、A′Q的长，以这两条线段相等作为等量条件求出点Q的坐标．进一步以AB为底、点A′、Q的纵坐标的差的绝对值为高可求出△AQA′的面积． 【解析】 （1）∵y=ax2-4ax+4a+c=a（x-2）2+c， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． ∵抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，点A的坐标为（1，0）， ∴点B的坐标为（3，0），OB=3． 可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）． ∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴OC=3，点C的坐标为（0，3）． 将点C（0，3）代入该解析式y=a（x-1）（x-3）． 解得a=1． ∴此抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（如图1） （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P1，点P1关于x轴的对称点为点P2，点P1、点P2均为所求点．（如图2） 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x=2上． ∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角， ∴∠AP1B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB． 由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2． 可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=x上． ∴点E的坐标为E（2，2）． ∴由勾股定理得 EA=． ∴EP1=EA=． ∴点P1的坐标为P1（2，2+）． 由对称性得点P2的坐标为P2（2，-2-）．  ∴符合题意的点P的坐标为P1（2，2+）、P2（2，-2-）． （3）∵点B、D的坐标分别为B（3，0）、D（2，-1）， 可得直线BD的解析式为y=x-3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°． ∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，（如图3） 若设AA'与∠AQB的平分线的交点为M， 则有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三点在一条直线上． ∵QA-QB=， ∴BA'=QA'-QB=QA-QB=． 作A'N⊥x轴于点N． ∵点Q在线段BD上，Q，B，A'三点在一条直线上， ∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1． ∴点A'的坐标为A'（4，1）． ∵点Q在线段BD上， ∴设点Q的坐标为Q（x，x-3），其中2＜x＜3． ∵QA=QA'， ∴由两点间的距离公式得 （x-1）2+（x-3）2=（x-4）2+（x-3-1）2． 解得x=． 经检验，x=在2＜x＜3的范围内． ∴点Q的坐标为Q（，-）． 此时S△QAA'=S△A'AB+S△QAB=•AB•（|yA'|+|yQ|）=×2×（1+）=．